Statistik:Streuungsmaße

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statistische Kennzahlen für die Streuung

Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.

Bilder von 2 Zahlensträngen mit denselben Zentralmaßen, aber unterschiedlichen Streuungen

Beide Datenmengen haben dieselben Zentralmaße, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im linken Bild liegen näher um die Zentralmaße, als die Werte im rechten Bild.

Aus diesem Grund lernen wir nun noch zusätzlich Kennzahlen für die Streuung von Werten.

Spannweite

Definition

Die Spannweite ist die Differenz (Abstand) zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Datenmenge. $$Spannweite=x_{max}-x_{min}$$

Beispiel: Gegeben sei die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme die Spannweite.

Lösung: $x_{max}=5;\ x_{min}=1$ $$Spannweite=x_{max}-x_{min}=5-1=4$$

Die Spannweite beträgt $4$

Varianz und Standardabweichung

Eine andere Möglichkeit, um die Streuung anzugeben wäre foldende: Wir berechnen den durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ zu berechnen. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir Standardabweichung oder kurz $\sigma$ (=sigma).

Herleitung der Standardabweichung Um die durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ (=Standardabweichung) zu erhalten machen wir folgendes:

$$\ $$

1. Schritt: Wir berechnen den Abstand aller Werte von $\bar{x}$:

   $$(x_1-\bar{x}) \textrm{ und } (x_2-\bar{x}) \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})$$

2. Schritt: Da die Abstände mitunter negativ sind (wenn $x_i<\bar{x}$), quadrieren wir alle Abstände:

   $$(x_1-\bar{x})^2 \textrm{ und } (x_2-\bar{x})^2 \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})^2$$

3. Schritt: Nun zählen wir die quadrate aller Abstände zusammen und berechnen den Durchschnitt (d.h. wir dividieren durch $n$:

   $$\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$

4. Da wir oben quadriert haben, ziehen wir nun wieder die Wurzel (Achtung! Dadurch fallen die $(\ )^2$ nicht weg!):

   $$\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$

Oder verkürz angeschrieben: $$\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$

Definition

Die Standardabweichung $\sigma$ gibt die Streuung aller Werte vom Erwartungswert $\bar{x}$ an und wird berechnet mit $$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$ Verkürzt: $$\sigma=\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$ Die Varianz $\sigma ^2$ ist das Quadrat der Standardabweichung: $$\sigma ^2=\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$

Berechnen Sie arithmetisches Mittel und Standardabweichung der Liste $\{1;2;2;2;5\}$.

$n=5$ Werte

$$\bar{x}=\frac{1+2\cdot 3+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$ Somit beträgt das arithm. Mittel $\bar{x}=2.4$

Um die Standardabweichung zu berechnen, ermitteln wir zuerst die Varianz und ziehen anschließend die Wurzel (so vermeiden wir häufige Rechenfehler): $$\sigma^2 =\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$ $$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(1-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(5-2.4)^2}{5}$$ $$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(2-2.4)^2\cdot 3+(5-2.4)^2}{5}$$ $$\sigma^2=\frac{(-1.4)^2+(-0.4)^2\cdot 3+2.6^2}{5}$$ $$\sigma^2=\frac{9.2}{5}=1.84$$ Somit erhalten wir für die Standardabweichung $\sigma$: $$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1.84}=1.36$$ Die Standardabweichung beträgt $\sigma=1.36$

Quartile

Definition

Die Quartile $Q_1,\ Q_2\ (=\tilde{x}),\ Q_3$ teilen die Werte der Datenmenge insgesamt in 4 Bereiche. Quartile einer Datenmenge mit 5 Werten. $Q_1$ ist zwischen dem 1. und 2. Wert, $Q_3$ zwischen dem 4. und 5. Berechnung: Zuerst berechnet wir den Median $\tilde{x}$, der die Daten in zwei Hälften zeilt. $\tilde{x}$ ist gleichzeitig das zweite Quartil $Q_2$. Das erste Quartil $Q_1$ ist der mittlere Wert in der linken Hälfte. Das dritte Quartil $Q_3$ ist der mittlere Wert der zweiten Hälfte.

Die Quartile sind vor allem für die Erstellung eines Boxplot-Diagramms relevant.

Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme $x_{min},\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplotdiagramm.

$\ $

• $x_{min}=1$
• $x_{max}=5$
• $\{1\underbrace{;}_{Q_1}2;\ \underbrace{2}_{\tilde{x} }\ ;\ 2\underbrace{;}_{Q_3} 5\}$

  $Q_1=\frac{1+2}{2}=1.5$,

  $\tilde{x}=2$ und

  $Q_3=\frac{2+5}{2}=3.5$

Boxplot-Diagramm der Liste $\{1;2;2;2;5\}$

Merke

Der Quartilsabstand" ist der Abstand zwischen den Quartilen $Q_1$ und $Q_3$. $$Quartilsabstand=Q_3-Q_1$$ Graphsich entspricht dies der Länge der "Box" im Boxplot-Diagramm.