Statistik:Daten und Diagramme
Inhaltsverzeichnis
Begriffe
$n...$ Umfang der Stichprobe
$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle
$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle
$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z.B. $\{ 1; ;5; 5; 5; 10;\}$ )
$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)
$a_2...$ zweiter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_2=5$)
$a_i...$ $i.$Wert, der in der Stichprobe vorkommt
Arten von Merkmalen/Daten
Im groben unterscheidet man zwischen 3 Arten von Merkmalen:
- nominale Merkmale können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind "Geschlecht", "Haarfarbe".
- ordinale Merkmale können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z.B. Addition). Beispiele sind "Platzierung bei einem Rennen", "Bildungsabschlüsse".
- metrische Merkmale können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele: "Gehalt", "Alter", "Schuhgröße".
Absolute und relative Häufigkeit
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Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt.
z.B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\} $ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, da die 2 insgesamt dreimal vorkommt |
In einer (kleinen) Umfrage werden von $n=15$ Personen die Schuhgrößen gemessen. Das Ergebnis ist in der folgenden Liste angegeben:
$$\{36;36;36;37;37;37;37;38;38;40;41;42;42;42;46\}$$
Aufgabe: Ermitteln Sie in einer Tabelle die Häufigkeit jedes Merkmals (=$a_i$).
{
| Werte $a_i$ | Häufigkeiten $H_i$ |
|---|---|
| 36 | 3 |
| 37 | 4 |
| 38 | 2 |
| 40 | 1 |
| 41 | 1 |
| 42 | 3 |
| 46 | 1 |
| Summe | 15 |
Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.
So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd dagegen wohl eher klein.
In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel Prozent der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit...
|
Die relative Häufigkeit $h_i$ gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt:
$$h_i=\frac{H_i}{n}$$ z.B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit: $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$ |
Berechnen Sie mithilfe der Tabelle aus der Schuhgrößenumfrage (siehe oben) die relative Häufigkeiten $h_i$. {
| Werte $a_i$ | absolute Häufigkeiten $H_i$ | relative Häufigkeiten $h_i$ |
|---|---|---|
| 36 | 3 | $\ \ \ $ |
| 37 | 4 | |
| 38 | 2 | |
| 40 | 1 | |
| 41 | 1 | |
| 42 | 3 | |
| 46 | 1 | |
| Summe | 15 |
$n=15$ {
| Werte $a_i$ | absolute Häufigkeiten $H_i$ | relative Häufigkeiten $h_i$ |
|---|---|---|
| 36 | 3 | $\frac{3}{15}=20$% |
| 37 | 4 | $\frac{4}{15}=26.7$% |
| 38 | 2 | $\frac{2}{15}=13.3$% |
| 40 | 1 | $\frac{1}{15}=6.7$% |
| 41 | 1 | $\frac{1}{15}=6.7$% |
| 42 | 3 | $\frac{3}{15}=20$% |
| 46 | 1 | $\frac{1}{15}=6.7$% |
| Summe | 15 | $\frac{15}{15}=100$% |
Diagramme
Stab-/Säulen- und Balkendiagramm
In Stab- oder Säulendiagrammen gibt die y-Achse die absolute Häufigkeit (oder relative Häufigkeit) eines Merkmales auf der x-Achse an.
Bei Balkendiagrammen sind die Achsen vertauscht.
Schummeln: Klassen vereinigen
Kreisdiagramm
Bei Kreisdiagrammen entspricht ein Kreissegment der relativen Häufigkeit eines Merkmales. Alle Kreissegmente zusammen (d.h. alle relativen Häufigkeiten) ergeben einen ganzen Kreis (d.h. 100 %).
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Schummeln mit Kreisdiagrammen Bei dreidimensionalen Kreisdiagrammen erscheinen Segmente im hinteren Bereich kleiner, als Segemnte im vorderen Bereich. Deshalb sollte man auf den 3d-Effekt verzichten. |
Boxplot (Kastenschaubild)
Boxplot-Diagramme geben einen Überblick über die Verteilung der Daten, indem Sie die Datenreihe in 4 25%-Bereiche teilen. Hierbei bildet der Bereich zwischen den Quartilen den "Kasten", von dem aus die die Antennen zum minimalen und maximalen Wert gehen ($x_{min}$ und $x_{max}$).
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In jedem der 4 Bereiche eines Boxplot-Diagrammes liegen ca. 25 % aller Werte |
Gegeben ist das folgende Boxplot-Diagramm, das aus den Daten der Schuhgrößen erstellt wurde.
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie diese Entscheidung:
- Die Anzahl der Werte zwischen 36 und 37 ist mit Sicherheit geringer als die Anzahl der Werte zwischen 42 und 46.
- 25 % aller Werte sind kleiner als 42.
- Zwischen 37 und 38 liegen gleich viele Werte wie zwischen 38 und 42.
- Falsch! Da jeder Bereich ca. 25 % aller Werte umfasst, liegen in beiden Bereichen ungefähr gleich viele Werte.
- Falsch! Es sind 75% aller Werte kleiner als 42 (oder 25 % aller Werte sind größer als 42).
- Richtig! Siehe 1.
http://tube.geogebra.org/student/m5245
http://tube.geogebra.org/student/m274871 (Andi Lindner)
http://tube.geogebra.org/student/b115371#material/56673 (sollte bearbeitet werden)
http://tube.geogebra.org/student/m129201 (Test)
Schummeln mit Statistik
Rest folgt noch
