Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

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Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel

• dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
• dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
• ...

und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

Einsteig

Frage zum Einstieg: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch $$P(3er)=\frac{1}{6}$$ wobei $P(3er)$ für "Wahrscheinlichkeit (engl. probability) von einer 3" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$? Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3. Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

Begriffe

• Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$

Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$

• Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.

Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit

Machen wir noch ein paar Beispiele:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?

$\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$

Grund: Es gibt wieder 6 mögliche Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist günstig

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?

$\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$

Grund: Es gibt wieder 6 mögliche Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind günstig

In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?

Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele mögliche Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns günstig sind (=7). Damit gilt:

$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

Definition

Regel von Laplace Bei einem Zufallsversuch, bei dem a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt, gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$: $$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$

? Auf dieser Seite findest du weitere Übungen.

Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse

Zu allererst zwei Überlegungen:

Merke

Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%). $$P(\Omega)=1$$ wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist. Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf eine 6 zu Würfeln) $$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

Nun zu folgendem Beispiel:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?

Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:

1. . Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$
   Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
2. .Variante:

$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$ Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet.

Merke

Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt: $$P(\bar{E})=1-P(E)$$

In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?

$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$

Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon

Additionsregel ("ODER"-Regel)

Zuerst eine kleine Definition:

Definition

2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "unvereinbar", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert: $$P(E\cap F)=0$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ und($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0.

Beispiel: Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).

Nun zur

Merke

Additionsregel ("Oder"-Regel) Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt: $$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$ ("Die Wahrscheinlichkeit $E$ oder ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$")

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 oder eine 3 zu würfeln?

Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:

$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$

Wichtiger Hinweis

Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig! Nehmen wir z.B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:

• $E=$"man würfelt eine 2" und
• $F=$"man würfelt eine gerade Zahl" (d.h. 2, 4 oder 6)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine 2 ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt: $$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$ Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

Multiplikationsregel ("UND"-Regel)

Zuerst wieder eine kleine Definition:

Definition

2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "unabhängig voneinander", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat. Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam.

Und nun zur

Merke

Multiplikationsregel (UND-Regel): Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten: $$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$ Die W., dass $E$ und($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$

Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.

Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:

$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$

Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit

Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung. Beim Würfeln gibt $$P(3er)=\frac{1}{6}$$ an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der relativen Häufigkeit an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.