Theorie Zahlenmengen (1.1.)
Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?
Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.
- Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
- Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen Zahlenmengen an.
die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$
| Definition: | Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} |
Sie sind "abgeschlossen" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.
Beispiel: $ 7+15=22 $
Sowohl die beiden Summanden links, als auch die Summe rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$
| Definition: | Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. |
Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.
$\mathbb{Z} ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.
'''Beispiele'''
*$ -3+7=4$
*$ -8-17=-25$
Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
UNIQ8417ac295ed1b6d3-MathJax-3-QINU
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:
Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''
|
Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: UNIQ8417ac295ed1b6d3-MathJax-4-QINU
|} Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen''' Beispiel: UNIQ8417ac295ed1b6d3-MathJax-5-QINU oder UNIQ8417ac295ed1b6d3-MathJax-6-QINU Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ == {| border ="1" | '''Definition:''' |
Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
|} '''Beispiele:''' * $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr) * $\pi =3.14159.... $ * $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]] * $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ == Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die # endlichen oder unendlich periodischen und die # unendlichen aber niemals periodischen so erhält man die reellen Zahlen {| border ="1" | '''Definition:''' |
UNIQ8417ac295ed1b6d3-MathJax-7-QINU Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.
|}== die imaginären Zahlen == Stoff der 2. Klasse Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''. '''Beispiel''': $ \sqrt{-1} $ Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt {| border ="1" | '''Definition:''' |
UNIQ8417ac295ed1b6d3-MathJax-8-QINU
|} '''Weitere Beispiele:''' * $ \sqrt{-1}=i$ * $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $) Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ == Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.
| Definition: | $$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$ |
