Funktionsgleichung aufstellen

Funktionsgleichung aufstellen

Funktionsgleichung in GG aufstellen

In der Mathematik gibt es oft mehrere Lösungsmöglichkeiten. Im folgenden Lernpfad wird nur ein Weg behandelt, welcher aber universal angewendet werden kann.

Wissenswertes

Um eine Funktionsgleichung aufstellen zu können, muss man die sogenannten Parameter bzw. Koeffizienten (die noch unbekannten Zahlen in der allgemeinen Funktionsgleichung) berechnen.

Folgende Dinge musst du wissen, damit du eine Funktionsgleichung aufstellen kannst:

• die allgemeine Form der Funktionsgleichung, z.B.

- linearen Funktion, z.B. $ f(x)=k\cdot x+d $

- quadratische Funktion (Polynomfunktion 2. Grades), z.B. $ f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c $

- kubische Funktion (Polynomfunktion 3. Grades), z.B. $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d $

- Exponentialfunktion, z.B. $f(x)=c\cdot a^x $

• dass es genau so viele Informationen braucht, wie du unbekannte Parameter in der Funktionsgleichung hast, z.B.

- bei der linearen Funktion möchtest du $ k $ und $ d $ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen

- bei der kubischen Funktion möchtest du $a, b, c$ und $d$ - also vier unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du vier Informationen

- bei der Exponentialfunktion möchtest du $c$ und $a$ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen

• dass du diese Informationen als Gleichung der Form $f(...)=...$ in CAS eintippen musst
• Ablauf in GeoGebra

Merke

Egal zu welcher Art von Funktion du die Funktionsgleichung aufstellen willst, der Ablauf in GeoGebra CAS bleibt immer gleich! Du brauchst genau so viele Gleichungen der Form $f(...)=...$, wie du unbekannte Parameter in der Funktionsgleichung hast!

Ablauf in GeoGebra

1. Öffne das CAS-Fenster.
2. Gib in der 1. Zeile die allgemeine Funktionsgleichung mit einem $:=$ ein, z.B. $ f(x):=k\cdot x+d $
3. Gib in den nächsten Zeilen so viele Gleichungen der Form $ f(...)=... $ ein, wie unbekannte Parameter in der allgemeinen Funktionsgleichung vorkommen.
4. Löse die bei 3. eingegebenen Gleichungen ...
   1. ... indem du alle Gleichungen markierst und den Shortcut $ x\color{red}{=} $ oder $ x\color{red}{≈} $ verwendest
   2. ... indem du in der nächsten Zeile den Befehl Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen) verwendest.

Beispiel: Eingabe in GeoGebra CAS

Achtung: mögliche Fehlerquellen und Hinweise

• Achte darauf, dass du den $ := $ bei der Defintion der allgemeinen Funktionsgleichung sowie die Malpunkte $ \cdot $ zwischen den einzelnen "Buchstaben" nicht vergisst!
• Die unabhängige Variable muss immer zusammenpassen, z.B. $h( \color{green}{ \textbf{t} } )=k\cdot \color{red}{ \textbf{x} } +d $ ist falsch $\rightarrow h(\color{green}{ \textbf{t} })=k\cdot \color{green}{ \textbf{t} }+d $ ist richtig
• Setze die Werte richtig in $ f(\color{green}{\textbf{...}})=\color{blue}{\textbf{...}} $ ein: die unabhängige Variable kommt in die Klammer, die abhängige Variable kommt nach dem =.
• Für den Befehl Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen) brauchst du Listen. Diese gibt man mit { ... } ein.
• Damit du die Gleichung der vorhergegangenen Zeilen nicht nochmals tippen musst, kannst du auf diese Zeile mit dem $ \$ $-Zeichen verweisen.

Übungsbeispiel: leicht

Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion $f$ auf, deren Graph durch die Punkte $(1|5)$ und $(3,5|10)$ geht.

Lösung:

$f(x)=2\cdot x+3 $

Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Schlosspark b2)

Ein rechteckiges Blumenbeet mit den Seitenlängen $b$ und $h$ ist in einen Bereich für Rosen und einen Bereich für Tulpen unterteilt. Die Begrenzungslinie zwischen diesen Bereichen kann modellhaft durch den Graphen der Funktion $f$ beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

$f$ ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit $f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x+d $.
Folgende Punkte liegen auf dem Graphen von $f$ : $(3 | 0,8), (5 | 2,7), (7 | 3,7), (9 | 2,3)$.

Berechnen Sie mithilfe dieser Punkte die Koeffizienten $a, b, c$ und $d$.

Lösung:

$a=-\frac{1}{32}=-0,03125
b=\frac{57}{160}=0,35625
c=-\frac{59}{160}=-0,36875
d=-\frac{73}{160}=-0,45625

Bildschirmvideo

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Lösungsvideo: Selbst erstellt