Äquivalenzumformungen

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Äquivalenzumformungen

Definition

Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben.

Merke

Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich angewendet werden: Das Vertauschen der beiden Seiten Addition bzw. Subtraktion eines Vielfachen einer Variablen Addition bzw. Subtraktion einer Zahl Multiplikation bzw. Division mit einer Zahl ungleich Null Anwendung des Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung

Folgende Gleichung ist gegeben: $4x-5=2x-8$

Äquivalente Gleichungen:

Seitentausch:	$$2x-8=4x-5$$
Subtraktion von 2x ergibt:	$$-8=2x-5$$
Addition von 5 ergibt:	$$-3=2x$$
Division durch 2 ergibt:	$$-1.5=x$$

Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-1.5\}}$

Merke

Die Wurzel kann auch als Äquivalenzumformung verwendet werden, wenn eine Fallunterscheidung gemacht wird. Ursprungsgleichung: $(\rm{linker\ Term})^2=(\rm{rechter\ Term})^2$ Fallunterscheidung: $\rm{linker\ Term}=+(\rm{rechter\ Term})$ oder $\rm{linker\ Term}=-(\rm{rechter\ Term})$ Kurz: $\rm{linker\ Term}=\pm (\rm{rechter\ Term})$

Folgende Gleichung ist gegeben: $x^2=4$

Wurzelziehen auf beiden Seiten

$$x=\pm 2$$

Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-2;2\}}$