Statistik:Daten und Diagramme

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Inhaltsverzeichnis

1 Begriffe
2 Arten von Merkmalen/Daten
3 Absolute und relative Häufigkeit
4 Diagramme

Begriffe

$n...$ Umfang der Stichprobe

$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle

$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle

$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z.B. $\{ 1; ;5; 5; 5; 10;\}$ )

$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)

$a_2...$ zweiter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_2=5$)

$a_i...$ $i.$Wert, der in der Stichprobe vorkommt

Arten von Merkmalen/Daten

Im groben unterscheidet man zwischen 3 Arten von Merkmalen:

nominale Merkmale können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind "Geschlecht", "Haarfarbe".
ordinale Merkmale können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z.B. Addition). Beispiele sind "Platzierung bei einem Rennen", "Bildungsabschlüsse".
metrische Merkmale können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele: "Gehalt", "Alter", "Schuhgröße".

Absolute und relative Häufigkeit

Definition

Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt.

z.B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\} $ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, da die 2 insgesamt dreimal vorkommt

In einer (kleinen) Umfrage werden von $n=15$ Personen die Schuhgrößen gemessen. Das Ergebnis ist in der folgenden Liste angegeben: $$\{36;36;36;37;37;37;37;38;38;40;41;42;42;42;46\}$$ Aufgabe: Ermitteln Sie in einer Tabelle die Häufigkeit jedes Merkmals (=$a_i$).

Lösung

{

Werte $a_i$	Häufigkeiten $H_i$
36	3
37	4
38	2
40	1
41	1
42	3
46	1
Summe	15

Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.

So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd dagegen wohl eher klein.

In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel Prozent der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit...

Definition

Die relative Häufigkeit $h_i$ gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt:

$$h_i=\frac{H_i}{n}$$

z.B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit: $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$

Berechnen Sie mithilfe der Tabelle aus der Schuhgrößenumfrage (siehe oben) die relative Häufigkeiten $h_i$. {

Werte $a_i$	absolute Häufigkeiten $H_i$	relative Häufigkeiten $h_i$
36	3	$\ \ \ $
37	4
38	2
40	1
41	1
42	3
46	1
Summe	15

Lösung

$n=15$ {

Werte $a_i$	absolute Häufigkeiten $H_i$	relative Häufigkeiten $h_i$
36	3	$\frac{3}{15}=20$%
37	4	$\frac{4}{15}=26.7$%
38	2	$\frac{2}{15}=13.3$%
40	1	$\frac{1}{15}=6.7$%
41	1	$\frac{1}{15}=6.7$%
42	3	$\frac{3}{15}=20$%
46	1	$\frac{1}{15}=6.7$%
Summe	15	$\frac{15}{15}=100$%

Diagramme

Stab-/Säulen- und Balkendiagramm

In Stab- oder Säulendiagrammen gibt die y-Achse die absolute Häufigkeit (oder relative Häufigkeit) eines Merkmales auf der x-Achse an.

Säulendiagramm der Schuhgrößen

Bei Balkendiagrammen sind die Achsen vertauscht.

Balkendiagramm der Schuhgrößen

Kreisdiagramm

Bei Kreisdiagrammen entspricht ein Kreissegment der relativen Häufigkeit eines Merkmales. Alle Kreissegmente zusammen (d.h. alle relativen Häufigkeiten) ergeben einen ganzen Kreis (d.h. 100 %).

Kreisdiagramm der Schuhgrößen

Merke

Schummeln mit Kreisdiagrammen

Bei dreidimensionalen Kreisdiagrammen erscheinen Segmente im hinteren Bereich kleiner, als Segemnte im vorderen Bereich. Deshalb sollte man auf den 3d-Effekt verzichten.