Statistik:Streuungsmaße: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 3. April 2015, 17:09 Uhr
Inhaltsverzeichnis
statistische Kennzahlen für die Streuung
Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.
Bilder von 2 Zahlensträngen mit denselben Zentralmaßen, aber unterschiedlichen Streuungen
Beide Datenmengen haben dieselben Zentralmaße, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im linken Bild liegen näher um die Zentralmaße, als die Werte im rechten Bild.
Aus diesem Grund lernen wir nun noch zusätzlich Kennzahlen für die Streuung von Werten.
Spannweite
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Die Spannweite ist die Differenz (Abstand) zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Datenmenge.
$$Spannweite=x_{max}-x_{min}$$ |
Beispiel: Gegeben sei die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme die Spannweite.
Lösung: $x_{max}=5;\ x_{min}=1$ $$Spannweite=x_{max}-x_{min}=5-1=4$$
Die Spannweite beträgt $4$
Varianz und Standardabweichung
Eine andere Möglichkeit, um die Streuung anzugeben wäre foldende: Wir berechnen den durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ zu berechnen. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir Standardabweichung oder kurz $\sigma$ (=sigma).
Herleitung der Standardabweichung Um die durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ (=Standardabweichung) zu erhalten machen wir folgendes:
- Schritt: Wir berechnen den Abstand aller Werte von $\bar{x}$:
- $$(x_1-\bar{x}) \textrm{ und } (x_2-\bar{x}) \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})$$
- Schritt: Da die Abstände mitunter negativ sind (wenn $x_i<\bar{x}$), quadrieren wir alle Abstände:
- $$(x_1-\bar{x})^2 \textrm{ und } (x_2-\bar{x})^2 \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})^2$$
- Schritt: Nun zählen wir die quadrate aller Abstände zusammen und berechnen den Durchschnitt (d.h. wir dividieren durch $n$:
- $$\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
- Da wir oben quadriert haben, ziehen wir nun wieder die Wurzel (Achtung! Dadurch fallen die $(\ )^2$ nicht weg!):
- $$\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$
Oder verkürz angeschrieben: $$\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$
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Die Standardabweichung $\sigma$ gibt die Streuung aller Werte vom Erwartungswert $\bar{x}$ an und wird berechnet mit
$$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$ Verkürzt: $$\sigma=\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$
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Berechnen Sie arithmetisches Mittel und Standardabweichung der Liste $\{1;2;2;2;5\}$.
$$\bar{x}=\frac{1+2\cdot 3+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$ Somit beträgt das arithm. Mittel $\bar{x}=2.4$
Um die Standardabweichung zu berechnen, ermitteln wir zuerst die Varianz und ziehen anschließend die Wurzel (so vermeiden wir häufige Rechenfehler):
$$\sigma^2 =\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
$$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(1-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(5-2.4)^2}{5}$$
$$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(2-2.4)^2\cdot 3+(5-2.4)^2}{5}$$
$$\sigma^2=\frac{(-1.4)^2+(-0.4)^2\cdot 3+2.6^2}{5}$$
$$\sigma^2=\frac{9.2}{5}=1.84$$
Somit erhalten wir für die Standardabweichung $\sigma$:
$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1.84}=1.36$$
Die Standardabweichung beträgt $\sigma=1.36$
Quartile
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Die Quartile $Q_1,\ Q_2\ (=\tilde{x}),\ Q_3$ teilen die Werte der Datenmenge insgesamt in 4 Bereiche.
Berechnung:
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Die Quartile sind vor allem für die Erstellung eines Boxplot-Diagramms relevant.
Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme $x_{min},\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplotdiagramm.
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Der Quartilsabstand" ist der Abstand zwischen den Quartilen $Q_1$ und $Q_3$.
$$Quartilsabstand=Q_3-Q_1$$ Graphsich entspricht dies der Länge der "Box" im Boxplot-Diagramm. |
