Version vom 30. Juni 2016, 16:04 Uhr

Daten und Diagramme

Begriffe

$n...$ Umfang der Stichprobe

$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle

$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle

$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z.B. $\{ 1; 2; 5; 5; 5; 10;\}$ )

$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)

$a_2...$ zweiter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_2=5$)

$a_i...$ $i.$Wert, der in der Stichprobe vorkommt

Arten von Merkmalen/Daten

Im Groben unterscheidet man zwischen 3 Arten von Merkmalen:

• nominale Merkmale können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind "Geschlecht", "Haarfarbe".
• ordinale Merkmale können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z.B. Addition). Beispiele sind "Platzierung bei einem Rennen", "Bildungsabschlüsse".
• metrische Merkmale können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele: "Gehalt", "Alter", "Schuhgröße".

Absolute und relative Häufigkeit

Definition

Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt. z.B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, da die 2 insgesamt dreimal vorkommt.

Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.

So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd. dagegen wohl eher klein.

In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel Prozent der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit...

Definition

Die relative Häufigkeit $h_i$ gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt: $$h_i=\frac{H_i}{n}$$ z.B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit: $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$

Diagramme

Stab-/Säulen- und Balkendiagramm

In Stab- oder Säulendiagrammen gibt die y-Achse die absolute Häufigkeit (oder relative Häufigkeit) eines Merkmales auf der x-Achse an.

Säulendiagramm der Schuhgrößen

Bei Balkendiagrammen sind die Achsen vertauscht.

Balkendiagramm der Schuhgrößen

Schummeln: Klassen vereinigen
es fehlt noch Histogramm

Kreisdiagramm

Bei Kreisdiagrammen entspricht ein Kreissegment der relativen Häufigkeit eines Merkmales. Alle Kreissegmente zusammen (d.h. alle relativen Häufigkeiten) ergeben einen ganzen Kreis (d.h. 100 %).

Kreisdiagramm der Schuhgrößen

Merke

Kreisdiagramm mit 3d-Effekt Schummeln mit Kreisdiagrammen Bei dreidimensionalen Kreisdiagrammen erscheinen Segmente im hinteren Bereich kleiner als Segemnte im vorderen Bereich. Deshalb sollte man auf den 3d-Effekt verzichten.

Boxplot (Kastenschaubild)

Boxplot-Diagramme geben einen Überblick über die Verteilung der Daten, indem Sie die Datenreihe in 4 25%-Bereiche teilen. Hierbei bildet der Bereich zwischen den Quartilen den "Kasten", von dem aus die Antennen zum minimalen und maximalen Wert gehen ($x_{min}$ und $x_{max}$).

Boxplot-Diagramm

Merke

In jedem der 4 Bereiche eines Boxplot-Diagrammes liegen ca. 25 % aller Werte

Gegeben ist das folgende Boxplot-Diagramm, das aus den Daten der Schuhgrößen erstellt wurde.

Boxplot der Daten für die Schuhgrößen

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie diese Entscheidung:

1. Die Anzahl der Werte zwischen 36 und 37 ist mit Sicherheit geringer als die Anzahl der Werte zwischen 42 und 46.
2. Weniger als 25 % aller Werte sind kleiner oder gleich 42.

$\ $

1. Falsch! Da jeder Bereich ca. 25 % aller Werte umfasst, liegen in beiden Bereichen ungefähr gleich viele Werte.
2. Falsch! Es sind mindestens 75 % aller Werte kleiner oder gleich 42 (oder weniger als 25 % aller Werte sind größer als 42).

http://tube.geogebra.org/student/m5245

http://tube.geogebra.org/student/m274871 (Andi Lindner)

http://tube.geogebra.org/student/b115371#material/56673 (sollte bearbeitet werden)

http://tube.geogebra.org/student/m129201 (Test)

Schummeln mit Statistik

Im Folgenden wird folgende Statistik verwendet: Anzahl der im Straßenverkehr Getöteten:

Quelle: Statistik Austria

Das entsprechende Liniendiagramm sieht folgendermaßen aus: