Exponentialfunktion aufstellen: Unterschied zwischen den Versionen
(→FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen) |
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| − | + | Die Obstanbaufläche in Österreich ist in den letzten Jahrzehnten zurückgegangen. Im Jahr 1960 betrug die Obstanbaufläche rund 28 000 Hektar (ha). Im Jahr 2005 betrug die Obstanbaufläche rund 15 000 ha. <br/> | |
| + | Die Entwicklung der Obstanbaufläche lässt sich für diesen Zeitraum näherungsweise durch die Exponentialfunktion $A$ beschreiben. <br/> | ||
| − | $t$... Zeit in | + | $A(t)=A_0\cdot e^{-k\cdot t} $ <br/> |
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> $A_0=28000 $ und $k=0,01387...$ | + | <div class="mw-collapsible-content"> $A_0=28000 $ und $k=0,01387...$ <br/> |
| + | [[Datei:Lernpfad2 Lösung Obst c1.png|left|500px|Lösungsweg in GeoGebra CAS für das Beispiel Obst c1)]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/> | ||
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Angabe: | + | <div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0 |
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Aktuelle Version vom 27. September 2026, 22:58 Uhr
Inhaltsverzeichnis
FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen
In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise: $N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $
Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln
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Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
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Achtung: $a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.
Wie sieht das in GeoGebra CAS aus?
$\rightarrow $ 
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
WH:
- Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
- Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: Wiederholung
Aufgabe: Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.
Aufgabe: Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.
Übungsbeispiel: Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel Kunststoffmüll a1)
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden.
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen
Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an.
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.
Tipp 1:
Tipp 2:
Lösung:
Quelle:
Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel W-Lan b1)
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$.
$d(x)=c\cdot a^x $
$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s
Sie ermittelt folgende Messwerte:
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.
Tipp:
- Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist (Wiederholung).
- Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
- Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.
Lösung:
Quelle:
Änderungsfaktor ermitteln
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Sonderfall bei Möglichkeit 2: Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. Dafür gibt es mehrere Wege:
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WH: geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $
Beispiel zum geometrischen Mittel
Lösung:
- Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
- Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung in einem Jahr $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $
D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
- Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.
Übungsbeispiel: Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Leuchtdioden c1)
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte Lichtstrom. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden.
$L(t)=L_0 \cdot a^t $
$t$... Zeit in Jahren
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen
$a$... positiver Parameter
Berechnen Sie den Parameter $a$.
Tipps zu den Lösungswegen:
- Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
- Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!
Tipp A:
Tipp B:
Lösung:
Mit GeoGebra-CAS: Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll!
Mit dem geometrischen Mittel:
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $
Quelle:
Festigung
Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.
FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen
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Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
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Übungsbeispiel: Möglichkeit 1
Das radioaktive Isotop Radon-222 zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe.
$t$... Zeit in Tagen
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.
Tipp 1:
Tipp 2:
Lösung:
Quelle:
Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Obst c1)
Die Obstanbaufläche in Österreich ist in den letzten Jahrzehnten zurückgegangen. Im Jahr 1960 betrug die Obstanbaufläche rund 28 000 Hektar (ha). Im Jahr 2005 betrug die Obstanbaufläche rund 15 000 ha.
Die Entwicklung der Obstanbaufläche lässt sich für diesen Zeitraum näherungsweise durch die Exponentialfunktion $A$ beschreiben.
$A(t)=A_0\cdot e^{-k\cdot t} $
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1960
$A(t)$... Obstanbaufläche zur Zeit $t$ in ha
$A_0, k$...Parameter
Ermitteln Sie die Parameter $A_0$ und $k$.
Tipp:
- Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist (Wiederholung).
- Überlege dir, ob du bereits einen Parameter direkt in die Funktionsgleichung eingeben kannst und wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest. Suche in der Angabe nach entsprechend viele weiteren Informationen.
- Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $A(...)=... $ ein.
Lösung:
Quelle:
Matura-Beispiele
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
- Pilze* d1)
Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln - Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)
Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln - Kunststoff* b2)
Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln - Weltbevölkerung* a1)
Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen - Käse* a1)
Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen - Raucherentwöhnung* b1)
Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln - Sonnenblumen* b1)
Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln - Obst* c1)
Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln - Winterdienst* c1)
Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen - Desinfektion* a1)
Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen - Sonnenlicht und Vitamin D* b1)
Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln - Streaming* a1)
Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen - Sozialausgaben (1)* b1)
Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
