Exponentialfunktion aufstellen: Unterschied zwischen den Versionen
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= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ = | = $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ = | ||
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| + | {{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor: | ||
| + | * Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/> | ||
| + | * Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈. | ||
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Version vom 27. September 2026, 20:18 Uhr
In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise: $N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $
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Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
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Achtung: $a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.
Wie sieht das in GeoGebra CAS aus?
$\rightarrow $ 
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
WH:
- Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
- Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: Wiederholung
Aufgabe: Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.
Aufgabe: Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.
Übungsbeispiel: Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel Kunststoffmüll a1)
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden.
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen
Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an.
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.
Lösung:
Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $100 %+8,5 % = 108,5 % \mathrel{\hat=} 1,085 $.
Quelle:
Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel W-Lan b1)
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$.
$d(x)=c\cdot a^x $
$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s
Sie ermittelt folgende Messwerte:
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.
Lösung:
Quelle:
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Sonderfall bei Möglichkeit 2: Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. Dafür gibt es mehrere Wege:
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WH: geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $
Beispiel zum geometrischen Mittel
Lösung:
- Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
- Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung in einem Jahr $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $
D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
- Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.
Übungsbeispiel: Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Leuchtdioden c1)
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte Lichtstrom. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden.
$L(t)=L_0 \cdot a^t $
$t$... Zeit in Jahren
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen
$L_0$... maximaler Lichtstrim zur Zeit $t=0$ in Lumen
$a$... positiver Parameter
Berechnen Sie den Parameter $a$.
Lösung:
Mit GeoGebra-CAS: Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll!
Mit dem geometrischen Mittel:
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $
Quelle:
Weitere Beispiele
Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.
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Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
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