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Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 17:50 Uhr
Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
- dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
- dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
- ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.
- Einstieg
- Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit
- Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse
- Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon
- Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit
- Interaktive Übungen
Fragestellung zum Einstieg: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine $3$ zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen - nicht manipulierten - sechsseitigen Würfel)?
Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen $3$er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7 \%$.
Abgekürzt schreibt man auch $$P(3er)=\frac{1}{6}$$ wobei $P(3$er$)$ für „Wahrscheinlichkeit (engl. probability) für einen $3$er“ steht.
Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es $6$ mögliche Versuchsausgänge ($1$er, $2$er, $3$er, $4$er, $5$er, $6$er) und nur bei einem davon kommt eine $3$.
Also: Bei $1$ von $6$ $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein $3$er.
Begriffe
- Die Menge aller möglichen Versuchsausgänge nennt man $\text{Ereignismenge}\ \Omega$.
- Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1$er$, 2$er$, 3$er$, 4$er$, 5$er$, 6$er$\}$
- Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
- Im obigen Beispiel war $E=$ „ein $3$er wird gewürfelt“.
Machen wir noch ein paar Beispiele. Wieder geht es um das einmalige Würfeln eines $6$-seitigen Würfels:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine $6$?
Grund: Es gibt wieder $6$ mögliche Ausgänge und nur einer davon (ein $6$er) ist günstig.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen $5$er ODER einen $6$er zu würfeln?
Grund: Es gibt wieder $6$ mögliche Ausgänge und nur zwei davon (ein $5$er oder $6$er) sind günstig.
In einer Box sind $100$ Lose. Nur $7$ davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:
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Regel von Laplace
Bei einem Zufallsversuch, bei dem
gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$: $$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für $E$ günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$ |
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Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas sicher passiert, ist $100 \%=1$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ wirft, ist $100 \%$).
$$P(\Omega)=1$$ wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine $6$ beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
- Variante: $$P(\text{kein}\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$
Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der - Variante:
$$P(\text{kein}\ 6er)=P(\text{irgendetwas passiert})-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$ Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(\text{kein}\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet.
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Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ („nicht $E$“) beträgt: $$P(\bar{E})=1-P(E)$$ |
In einer Urne mit $20$ Kugeln sind $5$ blau, $3$ rot, $7$ gelb und $5$ grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit keine blaue Kugel zu ziehen?
Additionsregel („ODER“-Regel)
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2 Ereignisse $E$ und $F$ sind „unvereinbar“, wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$ „Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ und ($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist $0$.“ |
Beispiel: Das Ereignis $E=$ „ich würfle eine $6$“ und das Ereignis $F=$ „ich würfle eine $1$“ sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.
Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$ „ich würfle eine $6$“ und $F= $ „ich würfle eine gerade Zahl“. Hier können nämlich $E$ und $F$ gleichzeitig eintreten (nämlich, wenn ein $6$er gewürfelt wird).
Nun zur
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Additionsregel („Oder“-Regel)
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt: $$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$ („Die Wahrscheinlichkeit $E$ oder ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist $P(E)$ plus $P(F)$“) |
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine $6$ oder eine $3$ zu würfeln?
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$
Wichtiger Hinweis
- $E=$ „man würfelt eine $2$“ und
- $F=$ „man würfelt eine gerade Zahl“ (d. h. $2, 4$ oder $6$)
$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.
Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine $2$ ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt: $$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$ Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.
Multiplikationsregel („UND“-Regel)
Zuerst wieder eine kleine Definition:
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$2$ Ereignisse $E$ und $F$ sind „unabhängig voneinander“, wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.
Z. B.: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. |
Und nun zur
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Multiplikationsregel (UND-Regel):
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammen auftreten: $$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ und ($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$. |
Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine $6$ und anschließend eine $3$ gewürfelt wird.
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung. Beim Würfeln gibt $$P(3er)=\frac{1}{6}$$ an, dass ungefähr in einem von $6$ Würfen ein $3$er erscheint. Eigentlich meint man aber eher folgendes: „Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen“. D. h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der relativen Häufigkeit an.
In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall $[0;1]$ aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit $P(E)$ (= Propability/Probabilität von $E$).
Hier noch ein Beispiel zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit nähert.
Quiz: Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4)
