Wahrscheinlichkeit: Grundlagen: Unterschied zwischen den Versionen

Machen wir noch ein paar Beispiele. Wieder geht es um das einmalige Würfeln eines $6$-seitigen Würfels:

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

Definition

Regel von Laplace Bei einem Zufallsversuch, bei dem a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt, gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$: $$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für $E$ günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$

? $\ $ Auf dieser Seite findest du weitere Übungen.

Zu allererst zwei Überlegungen:

Merke

Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas sicher passiert, ist $100 \%=1$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ wirft, ist $100 \%$). $$P(\Omega)=1$$ wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist. Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist $0$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit beim Münzwurf eine $6$ zu würfeln ist $0 \%$.) $$P(\text{unmögliches Ereignis})=0$$

Nun zu folgendem Beispiel:

Merke

Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ („nicht $E$“) beträgt: $$P(\bar{E})=1-P(E)$$

Additionsregel („ODER“-Regel)

Zuerst eine kleine Definition:

Definition

2 Ereignisse $E$ und $F$ sind „unvereinbar“, wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert: $$P(E\cap F)=0$$ „Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ und ($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist $0$.“

Beispiel: Das Ereignis $E=$ „ich würfle eine $6$“ und das Ereignis $F=$ „ich würfle eine $1$“ sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$ „ich würfle eine $6$“ und $F= $ „ich würfle eine gerade Zahl“. Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein $6$er gewürfelt wird).

Nun zur

Merke

Additionsregel („Oder“-Regel) Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt: $$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$ („Die Wahrscheinlichkeit $E$ oder ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist $P(E)$ plus $P(F)$“)

Multiplikationsregel („UND“-Regel)

Zuerst wieder eine kleine Definition:

Definition

$2$ Ereignisse $E$ und $F$ sind „unabhängig voneinander“, wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat. Z. B.: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam.

Und nun zur

Merke

Multiplikationsregel (UND-Regel): Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammen auftreten: $$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ und ($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$.

Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel

Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung. Beim Würfeln gibt $$P(3er)=\frac{1}{6}$$ an, dass ungefähr in einem von $6$ Würfen ein $3$er erscheint. Eigentlich meint man aber eher folgendes: „Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen“. D. h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der relativen Häufigkeit an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall $[0;1]$ aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit $P(E)$ (= Propability/Probabilität von $E$).

Hier noch ein Beispiel zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit nähert.

Quiz: Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4)