Gleichungssysteme (2.7.): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 25. August 2014, 15:20 Uhr
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Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen.
Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ |
Inhaltsverzeichnis
Beispiel: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 linear unabhängige Gleichungen.
Lösungsmenge $\mathbb{L}$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst:
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$
Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems
Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)
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Methode des Additionsverfahrens
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Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$
2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:
$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$
3. Schritt: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:
$ \begin{align} -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\ 4x&+&2y&=&94& \\ \end{align}$
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $
| Wichtig | Das Additionsverfahren eignet sich nur für lineare Gleichunggsysteme. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so funktioniert das Additionsverfahren nicht.
Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)
Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren)Graphisches VerfahrenMatrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82)Verfahren mit GeoGebra-CASEs gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen. |
