Trigonometrie (2.12 und 3.10): Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
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* die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
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* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $sin \alpha = \frac{GK}{H}$
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* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $cos \alpha = \frac{AK}{H}$
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* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $tan \alpha = \frac{GK}{AK}$
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Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
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| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
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| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
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== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ==
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== Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion ==
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== Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck ==
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== Beispiele ==

Version vom 9. Juli 2014, 15:17 Uhr

In der Tri

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:

  • die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
  • die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.



Sinus, Cosinus und Tangens

[Schau dieses Arbeitsblatt an]. Hierbei lernst du die Bedeutung von Sinus, Cosinus und Tangens.


Definition

  • Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $sin \alpha = \frac{GK}{H}$
  • Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $cos \alpha = \frac{AK}{H}$
  • Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $tan \alpha = \frac{GK}{AK}$

Wichtig! Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck!



Weitere wichtige Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck

allgemeines Dreieck
rechtwinkliges Dreieck allgemeines Dreieck
Winkelsumme $180°=\alpha+\beta+\gamma$ $180°=\alpha+\beta+\gamma$
Pythagoras $H^2=GK^2+AK^2$ gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
Flächeninhalt $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
Sinussatz $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
Cosinussatz $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$



Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion

Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck

Beispiele

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