Quelltext der Seite Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

= W1 und W2: beschränkte Modelle = 
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6" 
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1= 
Es gilt: 
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$ 
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px"> 
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:'''  </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span> 
<div class="mw-collapsible-content"> 
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt. 
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div> 
</div>

=== Graph ===


[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>


Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

 {{#widget:Iframe
 |url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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 |height=  523
 |border=0
 }}


{{Vorlage:Merke|1=  $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px"> 
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:'''  </span> Asymptote </span> 
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren. 
</div> 
</div> 

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra: 
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> 

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/> 
$0,3^1=0,3 $ <br/> 
$0,3^2=0,09$<br/> 
$0,3^5=0,00243 $<br/> 
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/> 
usw. </span> 

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div> 

</div> 

</div> 

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===


<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>


Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt. 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}


</div>

</div> 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div> 

</div> 

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />







+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div> 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div> 

</div> 

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n  Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1=  Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===


<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> 
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div> 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div> 

</div> 

</div> 


Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell = 
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1= 
Es gilt: 
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$ 
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum  </span>  bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]] 

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1=  $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n  Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeizenbier%2A%3Ba%3BB_683%3B1153%3B&l=j Weizenbier* a2)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1=  Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Bc%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* c2)]

= W1- und W2-Matura-Aufgaben = 
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div> 
</div> 


Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div> 
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n  Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n  Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n  Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n  Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n  Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n  Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n  Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n  Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n  Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n  Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren 
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n  Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n  Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n  Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n  Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]