Wachstums- und Zerfallsprozesse - Versionsgeschichte

SFleisch am 22. September 2026 um 08:36 Uhr

2026-09-22T08:36:06Z

SFleisch am 22. September 2026 um 08:33 Uhr

2026-09-22T08:33:54Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

2026-09-10T14:34:11Z

‎Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert

SFleisch: /* Graph */

2026-09-10T14:30:19Z

‎Graph

SFleisch: /* Funktionsgleichung aufstellen */

2026-09-10T14:29:13Z

‎Funktionsgleichung aufstellen

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

2026-09-10T14:24:53Z

‎Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

2026-09-10T14:24:26Z

‎Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke */

2026-09-10T14:23:23Z

‎Matura-Beispiele zur Schranke

SFleisch: /* Funktionsgleichung aufstellen */

2026-09-10T13:57:25Z

‎Funktionsgleichung aufstellen

SFleisch: /* Funktionsgleichung aufstellen */

2026-09-10T13:55:20Z

‎Funktionsgleichung aufstellen

← Nächstältere Version		Version vom 22. September 2026, 08:36 Uhr
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−	== Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen ==	+	= Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen =

	In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise.		In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise.

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	\|}		\|}

−	~~= Funktionsgleichung aufstellen =~~
−
−
−	~~In der Mathematik gibt es oft mehrere Lösungsmöglichkeiten. Im folgenden Lernpfad wird nur einen Weg behandelt, welcher aber universal angewendet werden kann.~~
−
−	~~== Wiederholung==~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0"> '''~~
−	~~=== <big>Wissenswertes</big> ===~~
−	~~''' </span>~~
−
−	<div class="mw-collapsible-content"> Um eine Funktionsgleichung aufstellen zu können, muss man die sogenannten ''Parameter'' bzw. ''Koeffizienten'' (die noch unbekannten Zahlen in der allgemeinen Funktionsgleichung) berechnen.
−
−	~~{{Vorlage:Merke\|1= Egal zu welcher Art von Funktion du die Funktionsgleichung aufstellen willst, der Ablauf in GeoGebra CAS bleibt immer gleich!}}~~
−
−
−	~~Folgende Dinge musst du wissen, damit du eine Funktionsgleichung aufstellen kannst: <br/>~~
−	* die allgemeine Form der Funktionsgleichung, z.B.
−	~~:- linearen Funktion, z.B. $ f(x)=k\cdot x+d $~~
−	~~:- quadratische Funktion (Polynomfunktion 2. Grades), z.B. $ f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c $~~
−	~~:- kubische Funktion (Polynomfunktion 3. Grades), z.B. $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d $~~
−	~~:- Exponentialfunktion, z.B. $f(x)=c\cdot a^x $~~
−	* dass es genau so viele Informationen braucht, wie du unbekannte Parameter in der Funktionsgleichung hast, z.B.
−	~~:- bei der linearen Funktion möchtest du $ k $ und $ d $ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen~~
−	~~:- bei der kubischen Funktion möchtest du $a, b, c$ und $d$ - also vier unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du vier Informationen~~
−	~~:- bei der Exponentialfunktion möchtest du $c$ und $a$ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen~~
−	* dass du diese Informationen als Gleichung der Form $f(...)=...$ in CAS eintippen musst
−	* Ablauf in GeoGebra
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~<br/>~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0"> '''~~
−
−	~~=== <big>Ablauf in GeoGebra</big> ===~~
−	~~''' </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−
−	~~# Öffne das CAS-Fenster.~~
−	~~# Gib in der 1. Zeile die allgemeine Funktionsgleichung mit einem $:=$ ein, z.B. $ f(x):=k\cdot x+d $~~
−	~~# Gib in den nächsten Zeilen so viele Gleichungen der Form $ f(...)=... $ ein, wie unbekannte Parameter in der allgemeinen Funktionsgleichung vorkommen.~~
−	~~# Löse die bei 3. eingegebenen Gleichungen ...~~
−	~~## ... indem du alle Gleichungen markierst und den Shortcut $ x\color{red}{=} $ oder $ x\color{red}{≈} $ verwendest~~
−	~~## ... indem du in der nächsten Zeile den Befehl '''Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen)''' verwendest.~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Beispiel:''' Eingabe in GeoGebra CAS </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−
−	~~[[Datei:Lernpfad1_Ablauf_GG_+_Erklärung.jpg\|700px\|left]]~~
−
−	~~<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~<br/>~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0> ''' Achtung: ''' mögliche Fehlerquellen und Hinweise </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−
−	* Achte darauf, dass du den $ := $ bei der Defintion der allgemeinen Funktionsgleichung sowie die Malpunkte $ \cdot $ zwischen den einzelnen "Buchstaben" nicht vergisst!
−	* Die unabhängige Variable muss immer zusammenpassen, z.B. $h( \color{green}{ \textbf{t} } )=k\cdot \color{red}{ \textbf{x} } +d $ ist falsch $\rightarrow h(\color{green}{ \textbf{t} })=k\cdot \color{green}{ \textbf{t} }+d $ ist richtig
−	* Setze die Werte richtig in $ f(\color{green}{\textbf{...}})=\color{blue}{\textbf{...}} $ ein: die <span style="color:green"> unabhängige Variable </span> kommt in die Klammer, die <span style="color:blue"> abhängige Variable </span> kommt nach dem =.
−	* Für den Befehl '''Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen)''' brauchst du Listen. Diese gibt man mit '''{ ... }''' ein.
−	* Damit du die Gleichung der vorhergegangenen Zeilen nicht nochmals tippen musst, kannst du auf diese Zeile mit dem '''$ \$ $-Zeichen ''' verweisen.
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~<br/>~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' leicht </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−	~~Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion $f$ auf, deren Graph durch die Punkte $(1\|5)$ und $(3,5\|10)$ geht.~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">~~
−
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content"> $f(x)=2\cdot x+3 $~~
−	~~<br />~~
−
−	~~[[Datei:Lernpfad1 Ü1.png\|links\|500px\|Funktionsgleichung mit Hilfe GeoGebra CAS einfach aufstellen.]]~~
−
−	~~<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~<br/>~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Schlosspark b2)'' </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−	Ein rechteckiges Blumenbeet mit den Seitenlängen $b$ und $h$ ist in einen Bereich für Rosen und einen Bereich für Tulpen unterteilt. Die Begrenzungslinie zwischen diesen Bereichen kann modellhaft durch den Graphen der Funktion $f$ beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung). <br/>
−
−	~~[[Datei:Lernpfad1 Ü2.png\|links\|300px\|Matura-Bsp. Schlossparl b)]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>~~
−
−	~~$f$ ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit $f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x+d $. <br />~~
−	~~Folgende Punkte liegen auf dem Graphen von $f$ : $(3 \| 0,8), (5 \| 2,7), (7 \| 3,7), (9 \| 2,3)$. <br/><br/>~~
−	~~Berechnen Sie mithilfe dieser Punkte die Koeffizienten $a, b, c$ und $d$.~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>~~
−	~~<div class="mw-collapsible-content"> Ergebnis der Koeffizienten~~
−	~~<br />~~
−
−	~~Bildschirmvideo~~
−
−	~~<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">~~
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>~~
−	~~<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0~~
−	~~Lösungsvideo: Selbst erstellt~~
−	~~<br />~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~

	== Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen ==		== Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen ==

@@ Zeile 1.054: / Zeile 1.054: @@
 </div>
 </div>
@@ Zeile 1.059: / Zeile 1.085: @@
 </div>
 Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

@@ Zeile 1.013: / Zeile 1.013: @@
 $0,3^2=0,09$<br/>
 $0,3^5=0,00243 $<br/>
-$0,3^10=0,0000059049$<br/>
+$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
 usw. </span>

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2026, 14:29 Uhr
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	{{Vorlage:Merke\|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}		{{Vorlage:Merke\|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}
		+
		+	=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
		+
		+
		+	<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
		+	<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>
		+
		+	<div class="mw-collapsible-content">
		+	Angabe
		+
		+	<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
		+	<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
		+	<div class="mw-collapsible-content"> blabla
		+	<br />
		+	+ GG-Screenshot + Video?
		+
		+	</div>
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
		+	<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
		+	<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0
		+
		+	</div>
		+
		+	</div>
		+
		+	</div>
		+
		+	</div>
		+
		+
		+	Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
		+
		+	* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
		+	* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
		+	* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
		+	* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
		+	* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

	= W1 und W2: logistisches Modell =		= W1 und W2: logistisches Modell =

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2026, 14:24 Uhr
Zeile 1.028:		Zeile 1.028:
	<br/>		<br/>

−	==== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ====	+	=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

@@ Zeile 1.029: / Zeile 1.029: @@
 ==== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ====
-<br/>
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
@@ Zeile 1.058: / Zeile 1.058: @@
 </div>
-<br/>
 Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

@@ Zeile 1.028: / Zeile 1.028: @@
 <br/>
-==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
+==== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ====
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
@@ Zeile 1.034: / Zeile 1.035: @@
 <div class="mw-collapsible-content">
-Angabe oder doch Kraftfahrzeugbestand b2)?
+Angabe
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
 <span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $
+<div class="mw-collapsible-content"> blabla
 <br />
-asdf
++ GG-Screenshot + Video?
 </div>
@@ Zeile 1.057: / Zeile 1.058: @@
 </div>
 Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
-* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n  Weltbevölkerung* c1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n  Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
-* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
 <br/>

@@ Zeile 1.066: / Zeile 1.066: @@
 == Funktionsgleichung aufstellen ==
-Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor. LINK!!!!
+Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>
 Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).