Inhalt:Wendepunkt und Wendetangente - Versionsgeschichte

Simon.Schnetzer: /* Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt */

2021-01-23T21:29:03Z

‎Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt

Simon.Schnetzer: /* Musterbeispiel */

2021-01-23T21:28:35Z

‎Musterbeispiel

Simon.Schnetzer: /* Video */

2021-01-23T21:24:13Z

‎Video

Simon.Schnetzer: /* Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt */

2021-01-23T21:23:55Z

‎Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt

Porod: Die Seite wurde neu angelegt: „Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente {{Vorlage:Definition|1=$ $ * Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem…“

2016-01-01T15:37:54Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente {{Vorlage:Definition|1=$ $ * Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem…“

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[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{{Vorlage:Definition|1=$ $
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die [[Tangente]] durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''. }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest die Straße mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, in dem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$}}

<br>
<br>

=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$
$$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:

$$f''(x)=2x-8$$
$$0=2x-8$$
$$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

[[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]

$$f'''(x)=2$$
Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
$$f'''(4)=2\ne 0$$
Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
$$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$\rightarrow$ Siehe hier auch: [[Bestimmen der Tangente]]

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
# den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':

$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
$$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

[[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
$$y=kx+d$$
$$15.33=-9\cdot 4+d$$
$$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
$$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$

</div>

</div>

</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1= '''Maximale oder minimale Steigung'''

Am Wendepunkt befindet sich '''ein lokales Extremum der Steigung $f'(x)$'''. Das bedeutet, dass am Wendepunkt sich entweder

a) ein lokales Maximum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am steilsten''') oder

b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')

befindet

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Am Wendepunkt gilt für die erste Ableitung von $f'$: $$(f'(x))'=f''(x)=0)$$ und für die zweite Ableitung von $f'$:
$$(f'(x))''=f'''(x)\neq 0$$ Somit hat $f'$ hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.

</div>

</div>
}}

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
[[Kategorie: Differenzieren]]

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 === Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
 {{Vorlage:Merke|1=Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
-# $f''(x_0)=0$   UND
+# $f''(x_0)=0 \quad$   UND
 #$f'''(x)\ne 0$}}
 <br>

@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>
+<span style="color:#A020F0> Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $\ f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$. </span>
 <div class="mw-collapsible-content">
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 $$f'''(x)=2$$
-Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:
+Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' $= 0$:
 $$f''(x)=2x-8$$
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
-Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:
+Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den $x$-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:
 [[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]
 $$f'''(x)=2$$
-Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
+Da die dritte Ableitung konstant $=2$ ist (d. h. für '''alle''' $x$ den Wert $2$ hat), gilt insbesondere
 $$f'''(4)=2\ne 0$$
 Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.
-Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
+Um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)$''' ein, und erhalten:
 $$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$
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 Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
 # den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
-# die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:
+# die Steigung der Wendetangente - diese berechnen wir jetzt:
@@ Zeile 132: / Zeile 132: @@
 b) ein lokales Minimum der Steigung (der Graph ist hier (in einem Bereich) '''am flachsten''')
-befindet
+befindet.

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 {{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
 |}
+<br>
-−
 === Musterbeispiel ===