Inhalt:Nullstelle - Versionsgeschichte

Simon.Schnetzer: /* Berechnung der Nullstellen */

2021-01-23T11:45:15Z

‎Berechnung der Nullstellen

Simon.Schnetzer: /* Musterbeispiele */

2021-01-23T11:44:24Z

‎Musterbeispiele

Simon.Schnetzer: /* Musterbeispiele */

2021-01-23T11:43:57Z

‎Musterbeispiele

Simon.Schnetzer: /* Berechnung der Nullstellen */

2021-01-23T11:42:44Z

‎Berechnung der Nullstellen

Porod: /* Berechnung der Nullstellen */

2017-02-17T16:43:29Z

‎Berechnung der Nullstellen

Porod am 17. Februar 2017 um 16:42 Uhr

2017-02-17T16:42:53Z

Porod: Die Seite wurde neu angelegt: „Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet. {{Vorlage:Definition|1= '''Nullstell…“

2016-01-01T15:35:22Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet. {{Vorlage:Definition|1= '''Nullstell…“

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[[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]]
{{Vorlage:Definition|1= '''Nullstellen''' sind jene [[Stellen]] (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0).

'''Formale Definition:'''

Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$ }}

=== Video ===
{{#ev:youtube|BB43Eja4Pew}}

=== Berechnung der Nullstellen ===
Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen |große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.

Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:

# Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]].
# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]]
# Bei Gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]

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=== Musterbeispiele ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Linfkt-nullstelle.png|thumb|180px|right]]
'''Lösung:'''
$$0=-2x+4 \ \ |-4$$
$$ -4=-2x \ \ |:(-2)$$
$$2=x$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben). </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung mithilfe des [[graphisches Lösungsverfahren im TR]] oder dem [[Löse-Verfahren (GeoGebra)]]'''
$x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
</div>
</div>

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]

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 # Bei linearen Gleichungen $0=k\cdot x+d$: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| nach $x$ umformen]].
 # Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungsformel/Quadkom]]
-# Bei Gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[TI-Befehle|graphisches Lösungsverfahren im TR]]
+# Bei Gleichungen mit Grad $\ge 3$: [[TI-Befehle|graphisches Lösungsverfahren im TR]]
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 </div>
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 </div>
 </div>

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 === Berechnung der Nullstellen ===
-Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen |große Lösungformel/Quadkom]], [[TI-Befehle|graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[TI-Befehle#tab=Solve-Befehl|Solve-Befehl]]) verwendet werden.
+Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder $x$ [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen |große Lösungformel/Quadkom]], [[TI-Befehle|graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[TI-Befehle#tab=Solve-Befehl|Solve-Befehl]]) verwendet werden.
 Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:
-# Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]].
+# Bei linearen Gleichungen $0=k\cdot x+d$: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| nach $x$ umformen]].
-# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]]
+# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungsformel/Quadkom]]
 # Bei Gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[TI-Befehle|graphisches Lösungsverfahren im TR]]
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 $$ -4=-2x \ \ |:(-2)$$
 $$2=x$$
-'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die x-Achse.
+'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die $x$-Achse.
 </div>
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 '''Lösung:'''
 $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
-Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5
+Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit $a=-1$, $b=6$ und $c=-5$
 $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
 [[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
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 $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
 $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
-'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
+'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die $x$-Achse.
 </div>
 </div>
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$  (siehe Abbildung rechts oben). </span>
+<span style="color:#A020F0> c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben). </span>
 <div class="mw-collapsible-content">