Inhalt:Extremstelle - Versionsgeschichte

Simon.Schnetzer am 2. Februar 2021 um 14:08 Uhr

2021-02-02T14:08:43Z

Simon.Schnetzer: /* Musterbeispiel */

2021-01-23T21:16:06Z

‎Musterbeispiel

Simon.Schnetzer: /* Musterbeispiel */

2021-01-23T21:15:31Z

‎Musterbeispiel

Simon.Schnetzer: /* Musterbeispiel */

2021-01-23T21:15:00Z

‎Musterbeispiel

Simon.Schnetzer am 23. Januar 2021 um 21:02 Uhr

2021-01-23T21:02:37Z

Simon.Schnetzer: /* Interaktives Quiz */

2021-01-23T12:04:32Z

‎Interaktives Quiz

Simon.Schnetzer: /* Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum */

2021-01-23T12:00:03Z

‎Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum

Simon.Schnetzer: /* Video */

2021-01-23T11:59:00Z

‎Video

Simon.Schnetzer: /* Video */

2021-01-23T11:58:26Z

‎Video

Porod: /* Musterbeispiel */

2018-04-14T12:06:52Z

‎Musterbeispiel

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−	[[Kategorie: ~~Differenzieren~~]]	+	[[Kategorie: Analysis]]

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 === Musterbeispiel ===
-{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme die Extrema der Funktion $\quad f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$.
+{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme die Extrema der Funktion $\ f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$.
 |2=
 '''Lösung:'''

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 === Musterbeispiel ===
-{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$
+{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme die Extrema der Funktion $\quad f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$.
 |2=
 '''Lösung:'''

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 === Musterbeispiel ===
-{{Vorlage:Beispiel|1= '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$'''
+{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$
 |2=
 '''Lösung:'''
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 $$f''(x)=2x-8$$
-Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
+Nun setzen wir die 1. Ableitung $0$ (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt $0$ ist):
 $$0=x^2-8x+7$$
 $$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7} }{2}$$
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 [[Datei:Extremwerte.png|thumb|right|300px|Graph mit Hoch- und Tiefpunkt]]
-Somit haben wir 2 '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:
+Somit haben wir $2$ '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:
 $f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt
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 Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ ein Tiefpunkt befindet.
-Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:
+Zuletzt bestimmen wir nun noch die $y$-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die $x$-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:
 $f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow  H(1\vert 33.33)$
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 }}
 == Interaktive Übungen ==

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 [[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
 $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
-{{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
+{{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen ($=x$-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
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 '''Formale Definition''':
-Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)}}
+Eine Funktion $f$ hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (Analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt.)}}
-−
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-== Interaktives Quiz ==
+== Interaktive Übungen ==
 {{#widget:Iframe
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   }}
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 [[Kategorie: Differenzieren]]

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 * $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
 | $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Hochpunktes (Maximums) von f
+| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Hochpunktes (Maximums) von $f$
 |-
+|
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 *$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
 | $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Tiefpunktes (Minimums) von f
+| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Tiefpunktes (Minimums) von $f$
 |-
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-Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!
+Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$. Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt).
+Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig.
-−
-Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!
 </div>
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 [[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
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 [[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]
 Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer $0$ (d. h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt $f$ nicht''' und '''fällt $f$ nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$.

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 === Video ===
-{| align="center"
 |-
+|
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 [[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]
-Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$.
+Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer $0$ (d. h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt $f$ nicht''' und '''fällt $f$ nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$.
-Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).
+Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d. h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d. h. $f''(x)>0$).
 Somit erhalten wir...
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