Porod am 5. November 2017 um 14:03 Uhr

2017-11-05T14:03:21Z

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=Darstellung einer Funktion=
==Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen==
[[Datei:Graph mit Definitions- und Wertebereich.png|thumb|right|300px|Eine Möglichkeit, eine Funktion darzustellen ist, den Grafen der Funktion zu zeichnen.]]

In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den [[Zahlenmengen#die_reellen_Zahlen_.24.5Cmathbb.7BR.7D.24| reellen Zahlen]].)

Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu.

Ein Beispiel für eine soche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im unteren Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:

a) '''Mengendiagramm''': Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden.

b) '''Wertetabelle''': In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben.

c) '''Graph''': Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem [[Koordinatensystem]] als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann '''Graph der Funktion'''

{| align="center"
|-
!|Darstellung: Mengendiagramm - Wertetabelle - Graph
|-
||<ggb_applet width="980" height="380" version="5.0" id="kmDfyxHN " />
|-
||Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/kmDfyxHN hier]
|}

Zuletzt gibt es noch eine weitere wichtige Darstellung einer Funktion, die

[[Datei:Gleichung-Wertetb-Graph.png|thumb|right|400px]]
d) '''Funktionsgleichung'''
<br/>
Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen Doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben:
$$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$
wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt.
Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist:
$$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x$$
$$\textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$

'''Beispiele für Funktionsgleichungen''':

{| border="1"
|-
!|Funktionsgleichung
!|gesprochen
!|Bedeutung
|-
||$f(x)=x+1$
||f von x ist x plus 1
||Die Funktion f ordnet jedem x seine um 1 höhere Zahl x+1 zu.
|-
||$f(x)=2x$
||f von x ist 2 mal x
||Die Funktion f ordnet jedem x ihren doppelten Wert zu.
|-
||$f(x)=3x+1$
||f von x ist 3 mal x plus 1
||Die Funktion f ordnet jedem x jene Zahl zu, die man erhält, wenn man vom Dreifachen von x eins addiert.
|}

Nun lernen wir, mithilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und anschließend einen Graphen zu erstellen:

{{Vorlage:Beispiel|1=
Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung $f(x)=x+2$.
<br />
a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3]
<br />
b) Skizziere den Graphen der Funktion

|2=
a) Erstelle mithilfe der Funktionsgleichung eine Wertetabelle im Definitionsbereich [0;3]
Gegeben ist die Funktionsgleichung $f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+2$ (wir könnten auch y=x+2 schreiben, da f(x)=y ist).

[[Datei:bsp1-wertetabelle.png|thumb|150px|right|Wertetabelle der Funktion $f(x)=x+2$]]
Um die Wertetabelle zu erstellen, setzen wir nun Zahlen aus dem Definitionsbereich [0;3] für x ein und berechnen damit y (oder f(x)).
* Wenn x=0 dann ist: $f(\color{red}{0})=\color{red}{0}+2=2$ d.h. für '''x=0 ist y=2''' (oder $f(\color{red}{0})=2$)
* Wenn x=1 dann ist: $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}+2=3$ d.h. für '''x=1 ist y=2''' (oder f(1)=3)
* Wenn x=2 dann ist: $f(\color{red}{2})=\color{red}{2}+2=4$ d.h. für '''x=2 ist y=4''' (oder f(2)=4)
* Wenn x=3 dann ist: $f(\color{red}{3})=\color{red}{3}+2=5$ d.h. für '''x=3 ist y=5''' (oder f(3)=5)
Natürlich können wir auch Dezimalzahlen einsetzen:
* Wenn x=0.5 dann ist: f(0.5)=0.5+2=2.5 d.h. für x=2.5 ist y=2.5 (oder f(1.5)=2.5)

Fassen wir x-Werte und y-Werte in einer Tabelle zusammen, so erhalten wir die richts abgebiltete Wertetabelle.

b) Skizziere den Graphen der Funktion f
Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit x-Koordinate und y-Koordinate.
z.B.: Nehmen wir den Punkt aus der untersten Zeile: (0.5,2.5) so müssen wir 0.5 entlang der x-Achse nach rechts und 2.5 entlang der y-Achse hinauf (Bei Schwierigkeiten mit dem Einzeichnen der Punkte, siehe [[Koordinatensystem]]).

Zeichnest du alle Punkte ein, so erhälst du:
[[Datei:bsp1-graph-nur pkte.png|thumb|200px|center|Einzeichnen der Punkte aus der Wertetabelle]]

Was wir zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen ist, dass f(x)=x+2 eine [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]] ist, dessen Graph immer eine Gerade ist. Somit können wir die Punkte verbinden und erhaltne den Graph der Funktion im Definitionsbereich [0;3]:
[[Datei:bsp1-graph.png|thumb|center|200px|Graph der Funktion $f(x)=x+2$ im Definitionsbereich [0;3]]]

}}

{{Vorlage:Merke|1= $\ $
# Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für x einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den y-Wert ausrechnet.
# Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte (x,y) aus der Wertetabelle einzeichnet und anschließend ''passend verbindet''. Den x-Wert nach rechts/links und den y-Wert hinauf/hinunter.

(Beachte: Was es heißt, die Punkte "''passend zu verbinden''" kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln)
}}

{| border="1" align="center"
|-
!|Übung zur Darstellung von Funtkionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph
|-
||Löse die Aufgaben, indem du
# die passende Funktionsgleichung eintippst
# die Wertetabelle richtig stellst (rote Werte)
# die Punkte im Graphen an die richtige Stelle schiebst.

Klicke am Ende jeder Aufgabe auf "Überprüfung" um zu sehen, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast.

|-
||<ggb_applet width="800" height="380" version="5.0" id="X4JD6Zde" />
|-
||Falls dieses Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/X4JD6Zde hier]
|}

{{Vorlage:Hinweis|1=
$\ $
# Anstelle von f können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden. Z.B.: $g(x)=x+1$
# Auch muss nicht immer x als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe t verwendet. z.B.: $g(t)=t+1$.
}}

{{Vorlage:Merke|1=
Folgende Darstellungsformen sind in der Mathematik von großer Bedeutung:
# '''Funktionsgleichung'''
# '''Wertetabelle'''
# '''Graph einer Funktion'''
Viele Aufgaben werden darin bestehen, zwischen diesen Darstellungsformen zu wechseln.
}}

=Zusammenfassungsvideo=
==Zusammenfassungsvideo==
{{Vorlage:Video|1=myLx0d5wmHw}}

Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ

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 ==Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen==
 [[Datei:Graph mit Definitions- und Wertebereich.png|thumb|right|300px|Eine Möglichkeit, eine Funktion darzustellen ist, den Grafen der Funktion zu zeichnen.]]
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 }}
-=Zusammenfassungsvideo=
 ==Zusammenfassungsvideo==
 {{Vorlage:Video|1=myLx0d5wmHw}}

Inhalt:Darstellung einer Funktionen - Versionsgeschichte

Porod am 5. November 2017 um 14:03 Uhr

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