Extremstellen - Versionsgeschichte

Porod am 1. Januar 2016 um 15:37 Uhr

2016-01-01T15:37:12Z

2016-01-01T15:36:33Z

Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „{{Inhalt:Extremstellen}}“

2015-02-05T15:52:11Z

‎Musterbeispiel

2015-02-05T15:49:16Z

‎Video

2015-02-05T15:48:52Z

2014-12-04T13:57:34Z

‎Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum

2014-08-21T15:01:12Z

2014-08-21T14:53:37Z

2014-08-21T14:52:34Z

2014-07-24T07:37:45Z

‎Musterbeispiel

@@ Zeile 115: / Zeile 115: @@
 === Musterbeispiel ===
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
+{{Vorlage:Beispiel|1= '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$'''
+|2=
-<span style="color:#A020F0> '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>
-−
-<div class="mw-collapsible-content">
 '''Lösung:'''
 Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:
@@ Zeile 128: / Zeile 125: @@
 Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
 $$0=x^2-8x+7$$
-$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}$$
+$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7} }{2}$$
 $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
 $$x_1=1$$
@@ Zeile 144: / Zeile 141: @@
 Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:
-$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow  H(1|33.33)$
+$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow  H(1\vert 33.33)$
-−
-$f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow  T(7|-2.67)$
-</div>
+}}
 <br>
 <br>

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 <br>
 <br>
 === Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum ===
 {| border="1" align="center"

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 [[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
 $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
 {{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
@@ Zeile 24: / Zeile 22: @@
 [[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]
-Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
+Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$.
 Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 <br>
 <br>
-=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
+=== Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum ===
 {| border="1" align="center"
+|
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 * $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
 | $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
+| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Hochpunktes (Maximums) von f
 |-
+|
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 *$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
 | $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f
+| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Tiefpunktes (Minimums) von f
 |-

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 <br>
 <br>
-<br>
+{{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
-{| border ="1"
-| '''Definition:'''
-−
-| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
 '''Formale Definition''':
@@ Zeile 28: / Zeile 21: @@
 {{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
 |}
 <br>
 <br>

@@ Zeile 144: / Zeile 144: @@
 $f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt
-Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ Tiefpunkt befindet.
+Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ ein Tiefpunkt befindet.
 Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein: