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Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T19:15:13Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeizenbier%2A%3Ba%3BB_683%3B1153%3B&l=j Weizenbier* a2)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Bc%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* c2)]

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T19:15:01Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeizenbier%2A%3Ba%3BB_683%3B1153%3B&l=j Weizenbier* a2)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Bc%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* c2)]

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T19:14:18Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeizenbier%2A%3Ba%3BB_683%3B1153%3B&l=j Weizenbier* a2)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Bc%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* c2)]

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:49:26Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeizenbier%2A%3Ba%3BB_683%3B1153%3B&l=j Weizenbier* a2)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Bc%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* c2)]

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:47:10Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Bc%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* c2)]

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:44:09Z

SFleisch: /* Funktionsgleichung aufstellen */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:43:02Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert. <br/>

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:42:15Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|left|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/>
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:38:58Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|rechts|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:38:09Z

SFleisch:

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|rechts|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]] Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:37:48Z

SFleisch: /* logistisches Wachstum */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

==== Matura-Beispiele zum Rechnen ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c2)] <br/>

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|rechts|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]] Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c1)] <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BE-Reader%20%2A%3Bc%3BB_224%3B303%3B&l=n E-Reader* c1)] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:29:12Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|rechts|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]] Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:28:50Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|rechts|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]] Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

<br/>

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:27:59Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|rechts|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]] Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

<br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:26:33Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein <span style="color:#00688B"> unbegrenztes exponentielles Wachstum </span> bis sich in weiterer Folge das <span style="color:#00CD00"> Wachstum verlangsamt </span> und sich die untersuchte Größe einem bestimmten <span style="color:#CD8500"> konstanten Wert </span> immer näher annähert.

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|rechts|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:16:55Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum bis sich das Wachstum in weiterer Folge verlangsamt und sich die untersuchte Größe einem bestimmten konstanten Wert immer näher annähert.

[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|links|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:14:27Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|links|410px|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T18:12:21Z

SFleisch: /* Graph */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
[[Datei:logistisches Wachstum.png|thumb|logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)]]
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Datei:logistisches Wachstum.png

2026-10-19T18:11:55Z

SFleisch: User created page with UploadWizard

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{{Information
|description={{en|1=logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)}}
|date=2026-10-19
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|author=[[User:SFleisch|SFleisch]]
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=={{int:license-header}}==
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Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T17:47:09Z

SFleisch: /* Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T17:46:52Z

SFleisch: /* Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-19T17:39:35Z

SFleisch: /* Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
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}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl)
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''logistische Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$. <br/><br/>

}}

=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T23:18:35Z

SFleisch: /* Funktionsgleichung aufstellen */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T23:14:58Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Thermometer b Lösung.png|left|500px|Matura-Bsp. Thermometer b Lösung]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Datei:Thermometer b Lösung.png

2026-10-11T23:13:35Z

SFleisch: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{en|1=Matura-Bsp. Thermometer b Lösung}}
|date=2026-10-12
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|author=[[User:SFleisch|SFleisch]]
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}}

=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T23:11:23Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$. <br/>
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T23:10:55Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Thermometer b)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. <br/>
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden. <br/>

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s <br/>
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C <br/>

# Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$.
# Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T23:06:52Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Videoplattform c Lösung.png|left|300px|Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T23:05:55Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>
[[Datei:Videoplattform c Angabe.png|left|250px|Matura-Bsp. Videoplattform c Angabe]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

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Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
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<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

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Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

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Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
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<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

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== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Datei:Videoplattform c Lösung.png

2026-10-11T23:04:12Z

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=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{en|1=Matura-Bsp. Videoplattform c Lösung}}
|date=2026-10-12
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|author=[[User:SFleisch|SFleisch]]
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}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-4.0}}

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2026-10-11T23:04:12Z

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=={{int:filedesc}}==
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=={{int:license-header}}==
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Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T23:01:30Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden. <br/>
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ <br/>
$t$... Abspielzeit des Videos in s <br/>
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in % <br/>
$\lambda$... positiver Parameter <br/>

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt. <br/>

Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T22:54:50Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T22:54:08Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/xFNunZae-zI?si=k2Jh12OUTDrCDVWF" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

{{Vorlage:Video|xFNunZae-zI}}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T22:37:31Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T20:20:53Z

SFleisch: /* Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung. <br/>

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben. <br/>
$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970 <br/>
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$ <br/>
$b, \lambda $... positive Parameter <br/>

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T20:14:44Z

SFleisch: /* Funktionsgleichung */

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten ''exponentielle Annäherungen'': Die untersuchte Größe nähert sich im Laufef der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
|width= 883
|height= 523
|border=0
}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

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</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T20:11:45Z

SFleisch:

= W1 und W2: beschränkte Modelle =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Abkühlung eines Tees
* Erwärmung von Schokoladeneis
* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T20:11:03Z

SFleisch:

= Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme =
== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T20:09:03Z

SFleisch:

== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
=== Funktionsgleichung ===
In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.

{{Vorlage:Definition |1=
Es gilt:
* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
* $0<a<1$
* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>

Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>

Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
</div>
</div>

=== Graph ===

[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>

{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
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|height= 523
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}}

{{Vorlage:Merke|1= $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> Asymptote </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
</div>
</div>

'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>

<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
$0,3^1=0,3 $ <br/>
$0,3^2=0,09$<br/>
$0,3^5=0,00243 $<br/>
$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
usw. </span>

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div> <br/>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben

<br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

{{Vorlage:Merke|1= Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}

=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Angabe

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> blabla
<br />
+ GG-Screenshot + Video?

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln

= W1 und W2: logistisches Modell =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>

'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
* Entwicklung der Weltbevölkerung
* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

== logistisches Wachstum ==
=== Funktionsgleichung ===
asdf
=== Graph ===
asdf
==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>

== Funktionsgleichung aufstellen ==
asdf

= W1- und W2-Matura-Aufgaben =
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

== Eigenständige Suche im Aufgabenpool ==
Öffne die Seite des [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP)].

Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
'' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]

<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>
</div>

== Spezifische Aufgaben ==

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a) ]: <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bb%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* b2) ] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c) ] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSchilf%2A%3Bc%3BB_630%3B1062%3B&l=n Schilf* c)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n Kraftfahrzeug-Bestand* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät a1)+a2)] <br/> mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien* b)] <br/> mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bb%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BGrafikkarte%2A%3Bb%3BA_380%3B1130%3B&l=n Grafikkarte* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermosflasche%2A%3Bb%3BB_623%3B1055%3B&l=n Thermosflasche* b)] <br/> Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
* [https://www.aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSpeiseeis%20%282%29%2A%3Bb%3BA_349%3B1028%3B&l=n Speiseeis (2)* b)] <br/> mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

2026-10-11T20:07:37Z

SFleisch: Die Seite wurde neu angelegt: „== beschränktes Wachstum ==“

== beschränktes Wachstum ==

Exponentialfunktion aufstellen

2026-09-27T20:58:08Z

SFleisch: /* FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen */

= $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen ==

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise:
[[Exponentialfunktion_aufstellen#tab=_24N_28t_29_3DN_0_5Ccdot_e_5E_7B_C2_B1_5Clambda__5Ccdot_t_7D__24|$N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $]]

=== Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span>
$a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> Wie sieht das in GeoGebra CAS aus? </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_2.jpg|480px]] $\rightarrow $ [[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_1.jpg|480px]] <br/>
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
</div>
</div>

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span>
* Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]

'''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

'''Aufgabe:''' Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel ''Kunststoffmüll a1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden. <br/>

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950 <br/>
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen <br/>

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an. <br/><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):<br />
[[Datei:Lernpfad2_Tipp.jpg|left|500px]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''W-Lan b1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$. <br/>

$d(x)=c\cdot a^x $ <br/>

$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s <br/>

Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
<br/><br/><br/><br/><br/>
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

=== Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>

Dafür gibt es mehrere Wege:

* Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS <br/>
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span> Hier funktioniert der Shortcut nicht!

* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

</div>

</div>

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>

$t$... Zeit in Jahren <br/>
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
$a$... positiver Parameter <br/>

Berechnen Sie den Parameter $a$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipps zu den Lösungswegen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:
* Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
* Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp A:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp B:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung'' schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung''.
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
<br />
'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>

[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

== Festigung ==
=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

<br>

= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen ==

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder <br/> die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> In der Angabe sind ''durchschnittliche Lebensdauer'' und ''... zerfällt ...'' Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lambda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png|left|200px|Berechnung von Lambda mit Hilfe der durchschnittlichen Lebenserwartung]] <br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $N(t)=8\cdot 10^{10} \cdot e^{-0,18116\cdot t} $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Obst c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Obstanbaufläche in Österreich ist in den letzten Jahrzehnten zurückgegangen. Im Jahr 1960 betrug die Obstanbaufläche rund 28 000 Hektar (ha). Im Jahr 2005 betrug die Obstanbaufläche rund 15 000 ha. <br/>
Die Entwicklung der Obstanbaufläche lässt sich für diesen Zeitraum näherungsweise durch die Exponentialfunktion $A$ beschreiben. <br/>

$A(t)=A_0\cdot e^{-k\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1960 <br/>
$A(t)$... Obstanbaufläche zur Zeit $t$ in ha <br/>
$A_0, k$...Parameter

<br/>
Ermitteln Sie die Parameter $A_0$ und $k$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, ob du bereits einen Parameter direkt in die Funktionsgleichung eingeben kannst und wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest. Suche in der Angabe nach entsprechend viele weiteren Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $A(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $A_0=28000 $ und $k=0,01387...$ <br/>
[[Datei:Lernpfad2 Lösung Obst c1.png|left|500px|Lösungsweg in GeoGebra CAS für das Beispiel Obst c1)]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

= Matura-Beispiele =
==Matura-Beispiele==
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* d1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n Kunststoff* b2)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n Käse* a1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n Raucherentwöhnung* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n Sonnenblumen* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n Obst* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n Winterdienst* c1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n Desinfektion* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n Sonnenlicht und Vitamin D* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n Sozialausgaben (1)* b1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>

Exponentialfunktion aufstellen

2026-09-27T20:54:59Z

SFleisch: /* FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen */

= $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen ==

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise:
[[Exponentialfunktion_aufstellen#tab=_24N_28t_29_3DN_0_5Ccdot_e_5E_7B_C2_B1_5Clambda__5Ccdot_t_7D__24|$N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $]]

=== Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span>
$a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> Wie sieht das in GeoGebra CAS aus? </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_2.jpg|480px]] $\rightarrow $ [[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_1.jpg|480px]] <br/>
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
</div>
</div>

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span>
* Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]

'''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

'''Aufgabe:''' Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel ''Kunststoffmüll a1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden. <br/>

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950 <br/>
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen <br/>

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an. <br/><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):<br />
[[Datei:Lernpfad2_Tipp.jpg|left|500px]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''W-Lan b1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$. <br/>

$d(x)=c\cdot a^x $ <br/>

$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s <br/>

Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
<br/><br/><br/><br/><br/>
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

=== Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>

Dafür gibt es mehrere Wege:

* Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS <br/>
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span> Hier funktioniert der Shortcut nicht!

* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

</div>

</div>

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>

$t$... Zeit in Jahren <br/>
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
$a$... positiver Parameter <br/>

Berechnen Sie den Parameter $a$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipps zu den Lösungswegen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:
* Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
* Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp A:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp B:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung'' schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung''.
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
<br />
'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>

[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

== Festigung ==
=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

<br>

= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen ==

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder <br/> die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> In der Angabe sind ''durchschnittliche Lebensdauer'' und ''... zerfällt ...'' Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lambda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png|left|200px|Berechnung von Lambda mit Hilfe der durchschnittlichen Lebenserwartung]] <br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $N(t)=8\cdot 10^{10} \cdot e^{-0,18116\cdot t} $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Obst c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Obstanbaufläche in Österreich ist in den letzten Jahrzehnten zurückgegangen. Im Jahr 1960 betrug die Obstanbaufläche rund 28 000 Hektar (ha). Im Jahr 2005 betrug die Obstanbaufläche rund 15 000 ha. <br/>
Die Entwicklung der Obstanbaufläche lässt sich für diesen Zeitraum näherungsweise durch die Exponentialfunktion $A$ beschreiben. <br/>

$A(t)=A_0\cdot e^{-k\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1960 <br/>
$A(t)$... Obstanbaufläche zur Zeit $t$ in ha <br/>
$A_0, k$...Parameter

<br/>
Ermitteln Sie die Parameter $A_0$ und $k$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $A_0=28000 $ und $k=0,01387...$ <br/>
[[Datei:Lernpfad2 Lösung Obst c1.png|left|500px|Lösungsweg in GeoGebra CAS für das Beispiel Obst c1)]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

= Matura-Beispiele =
==Matura-Beispiele==
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* d1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n Kunststoff* b2)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n Käse* a1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n Raucherentwöhnung* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n Sonnenblumen* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n Obst* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n Winterdienst* c1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n Desinfektion* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n Sonnenlicht und Vitamin D* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n Sozialausgaben (1)* b1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>

Datei:Lernpfad2 Lösung Obst c1.png

2026-09-27T20:52:52Z

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|description={{en|1=Lösungsweg in GeoGebra CAS für das Beispiel Obst c1)}}
|date=2026-09-27
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Exponentialfunktion aufstellen

2026-09-27T20:50:11Z

SFleisch: /* FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen */

= $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen ==

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise:
[[Exponentialfunktion_aufstellen#tab=_24N_28t_29_3DN_0_5Ccdot_e_5E_7B_C2_B1_5Clambda__5Ccdot_t_7D__24|$N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $]]

=== Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span>
$a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> Wie sieht das in GeoGebra CAS aus? </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_2.jpg|480px]] $\rightarrow $ [[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_1.jpg|480px]] <br/>
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
</div>
</div>

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span>
* Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]

'''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

'''Aufgabe:''' Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel ''Kunststoffmüll a1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden. <br/>

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950 <br/>
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen <br/>

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an. <br/><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):<br />
[[Datei:Lernpfad2_Tipp.jpg|left|500px]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''W-Lan b1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$. <br/>

$d(x)=c\cdot a^x $ <br/>

$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s <br/>

Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
<br/><br/><br/><br/><br/>
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

=== Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>

Dafür gibt es mehrere Wege:

* Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS <br/>
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span> Hier funktioniert der Shortcut nicht!

* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

</div>

</div>

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>

$t$... Zeit in Jahren <br/>
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
$a$... positiver Parameter <br/>

Berechnen Sie den Parameter $a$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipps zu den Lösungswegen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:
* Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
* Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp A:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp B:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung'' schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung''.
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
<br />
'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>

[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

== Festigung ==
=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

<br>

= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen ==

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder <br/> die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> In der Angabe sind ''durchschnittliche Lebensdauer'' und ''... zerfällt ...'' Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lambda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png|left|200px|Berechnung von Lambda mit Hilfe der durchschnittlichen Lebenserwartung]] <br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $N(t)=8\cdot 10^{10} \cdot e^{-0,18116\cdot t} $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> ''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Obst c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die Obstanbaufläche in Österreich ist in den letzten Jahrzehnten zurückgegangen. Im Jahr 1960 betrug die Obstanbaufläche rund 28 000 Hektar (ha). Im Jahr 2005 betrug die Obstanbaufläche rund 15 000 ha. <br/>
Die Entwicklung der Obstanbaufläche lässt sich für diesen Zeitraum näherungsweise durch die Exponentialfunktion $A$ beschreiben. <br/>

$A(t)=A_0\cdot e^{-k\cdot t} $ <br/>
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1960 <br/>
$A(t)$... Obstanbaufläche zur Zeit $t$ in ha <br/>
$A_0, k$...Parameter

<br/>
Ermitteln Sie die Parameter $A_0$ und $k$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $A_0=28000 $ und $k=0,01387...$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

= Matura-Beispiele =
==Matura-Beispiele==
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* d1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n Kunststoff* b2)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n Käse* a1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n Raucherentwöhnung* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n Sonnenblumen* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n Obst* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n Winterdienst* c1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n Desinfektion* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n Sonnenlicht und Vitamin D* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n Sozialausgaben (1)* b1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>

Exponentialfunktion aufstellen

2026-09-27T20:46:00Z

SFleisch: /* FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen */

= $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen ==

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise:
[[Exponentialfunktion_aufstellen#tab=_24N_28t_29_3DN_0_5Ccdot_e_5E_7B_C2_B1_5Clambda__5Ccdot_t_7D__24|$N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $]]

=== Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span>
$a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> Wie sieht das in GeoGebra CAS aus? </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_2.jpg|480px]] $\rightarrow $ [[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_1.jpg|480px]] <br/>
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
</div>
</div>

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span>
* Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]

'''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

'''Aufgabe:''' Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel ''Kunststoffmüll a1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden. <br/>

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950 <br/>
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen <br/>

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an. <br/><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):<br />
[[Datei:Lernpfad2_Tipp.jpg|left|500px]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''W-Lan b1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$. <br/>

$d(x)=c\cdot a^x $ <br/>

$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s <br/>

Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
<br/><br/><br/><br/><br/>
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

=== Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>

Dafür gibt es mehrere Wege:

* Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS <br/>
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span> Hier funktioniert der Shortcut nicht!

* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

</div>

</div>

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>

$t$... Zeit in Jahren <br/>
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
$a$... positiver Parameter <br/>

Berechnen Sie den Parameter $a$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipps zu den Lösungswegen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:
* Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
* Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp A:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp B:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung'' schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung''.
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
<br />
'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>

[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

== Festigung ==
=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

<br>

= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen ==

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder <br/> die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> In der Angabe sind ''durchschnittliche Lebensdauer'' und ''... zerfällt ...'' Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lambda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png|left|200px|Berechnung von Lambda mit Hilfe der durchschnittlichen Lebenserwartung]] <br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $N(t)=8\cdot 10^{10} \cdot e^{-0,18116\cdot t} $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $A_0=28000 $ und $k=0,01387...$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

= Matura-Beispiele =
==Matura-Beispiele==
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* d1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n Kunststoff* b2)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n Käse* a1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n Raucherentwöhnung* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n Sonnenblumen* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n Obst* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n Winterdienst* c1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n Desinfektion* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n Sonnenlicht und Vitamin D* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n Sozialausgaben (1)* b1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>

Exponentialfunktion aufstellen

2026-09-27T20:45:28Z

SFleisch: /* FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen */

= $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen ==

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise:
[[Exponentialfunktion_aufstellen#tab=_24N_28t_29_3DN_0_5Ccdot_e_5E_7B_C2_B1_5Clambda__5Ccdot_t_7D__24|$N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $]]

=== Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span>
$a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> Wie sieht das in GeoGebra CAS aus? </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_2.jpg|480px]] $\rightarrow $ [[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_1.jpg|480px]] <br/>
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
</div>
</div>

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span>
* Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]

'''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

'''Aufgabe:''' Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel ''Kunststoffmüll a1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden. <br/>

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950 <br/>
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen <br/>

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an. <br/><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):<br />
[[Datei:Lernpfad2_Tipp.jpg|left|500px]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''W-Lan b1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$. <br/>

$d(x)=c\cdot a^x $ <br/>

$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s <br/>

Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
<br/><br/><br/><br/><br/>
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

=== Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>

Dafür gibt es mehrere Wege:

* Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS <br/>
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span> Hier funktioniert der Shortcut nicht!

* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

</div>

</div>

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>

$t$... Zeit in Jahren <br/>
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
$a$... positiver Parameter <br/>

Berechnen Sie den Parameter $a$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipps zu den Lösungswegen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:
* Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
* Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp A:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp B:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung'' schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung''.
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
<br />
'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>

[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

== Festigung ==
=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

<br>

= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen ==

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder <br/> die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> In der Angabe sind ''durchschnittliche Lebensdauer'' und ''... zerfällt ...'' Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lambda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png|left|200px|Berechnung von Lambda mit Hilfe der durchschnittlichen Lebenserwartung]] <br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $N(t)=8\cdot 10^{10} \cdot e^{-0,18116\cdot t} $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $A_0=28000 $ und $k=0,01387...$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

</div>

</div>

</div>

</div>

= Matura-Beispiele =
==Matura-Beispiele==
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* d1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n Kunststoff* b2)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n Käse* a1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n Raucherentwöhnung* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n Sonnenblumen* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n Obst* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n Winterdienst* c1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n Desinfektion* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n Sonnenlicht und Vitamin D* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n Sozialausgaben (1)* b1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>

Exponentialfunktion aufstellen

2026-09-27T20:25:16Z

SFleisch: /* FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen */

= $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen ==

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise:
[[Exponentialfunktion_aufstellen#tab=_24N_28t_29_3DN_0_5Ccdot_e_5E_7B_C2_B1_5Clambda__5Ccdot_t_7D__24|$N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $]]

=== Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span>
$a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> Wie sieht das in GeoGebra CAS aus? </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_2.jpg|480px]] $\rightarrow $ [[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_1.jpg|480px]] <br/>
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
</div>
</div>

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span>
* Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]

'''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

'''Aufgabe:''' Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel ''Kunststoffmüll a1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden. <br/>

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950 <br/>
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen <br/>

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an. <br/><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):<br />
[[Datei:Lernpfad2_Tipp.jpg|left|500px]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''W-Lan b1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$. <br/>

$d(x)=c\cdot a^x $ <br/>

$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s <br/>

Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
<br/><br/><br/><br/><br/>
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

=== Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>

Dafür gibt es mehrere Wege:

* Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS <br/>
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span> Hier funktioniert der Shortcut nicht!

* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

</div>

</div>

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>

$t$... Zeit in Jahren <br/>
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
$a$... positiver Parameter <br/>

Berechnen Sie den Parameter $a$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipps zu den Lösungswegen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:
* Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
* Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp A:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp B:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung'' schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung''.
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
<br />
'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>

[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

== Festigung ==
=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

<br>

= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen ==

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder <br/> die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

<br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> In der Angabe sind ''durchschnittliche Lebensdauer'' und ''... zerfällt ...'' Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lambda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png|left|200px|Berechnung von Lambda mit Hilfe der durchschnittlichen Lebenserwartung]] <br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $N(t)=8\cdot 10^{10} \cdot e^{-0,18116\cdot t} $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

</div>

</div>

</div>

</div>

= Matura-Beispiele =
==Matura-Beispiele==
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* d1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n Kunststoff* b2)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n Käse* a1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n Raucherentwöhnung* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n Sonnenblumen* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n Obst* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n Winterdienst* c1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n Desinfektion* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n Sonnenlicht und Vitamin D* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n Sozialausgaben (1)* b1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>

Exponentialfunktion aufstellen

2026-09-27T20:20:22Z

SFleisch: /* FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen */

= $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen ==

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise:
[[Exponentialfunktion_aufstellen#tab=_24N_28t_29_3DN_0_5Ccdot_e_5E_7B_C2_B1_5Clambda__5Ccdot_t_7D__24|$N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $]]

=== Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

<span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span>
$a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> Wie sieht das in GeoGebra CAS aus? </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_2.jpg|480px]] $\rightarrow $ [[Datei:Lernpfad1_Befehl_vs_Shortcut_1.jpg|480px]] <br/>
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $
</div>
</div>

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span>
* Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]

'''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

'''Aufgabe:''' Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel ''Kunststoffmüll a1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden. <br/>

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950 <br/>
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen <br/>

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen.
Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr
im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an. <br/><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):<br />
[[Datei:Lernpfad2_Tipp.jpg|left|500px]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

<br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''W-Lan b1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$. <br/>

$d(x)=c\cdot a^x $ <br/>

$x$... Entfernung in m
$d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s <br/>

Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
<br/><br/><br/><br/><br/>
Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist ([[Funktionsgleichung_aufstellen|Wiederholung]]).
* Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
* Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

=== Änderungsfaktor ermitteln ===

{{Vorlage:Merke|1= '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>

Dafür gibt es mehrere Wege:

* Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS <br/>
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:''' </span> Hier funktioniert der Shortcut nicht!

* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}

<span style="color:#228B22"> '''WH:''' </span> geometrisches Mittel
$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

</div>

</div>

</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
Einheit Lumen angegeben.
Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>

$t$... Zeit in Jahren <br/>
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
$a$... positiver Parameter <br/>

Berechnen Sie den Parameter $a$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipps zu den Lösungswegen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:
* Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
* Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp A:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp B:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung'' schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der ''Änderungsfaktor der gesamten Änderung''.
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
<br />
'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>

[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

</div>

</div>

</div>

</div>

== Festigung ==
=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

<br>

= $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ =

== FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen ==

{{Vorlage:Merke|1= Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor:
* Möglichkeit 1: <br/> Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder <br/> die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
* Möglichkeit 2: <br/> Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
}}

div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 1'' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Das radioaktive Isotop ''Radon-222'' zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^10 $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe. <br/>

$t$... Zeit in Tagen <br/>
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$ <br/>

><br/>
Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 1:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> In der Angabe ist sind ''durchschnittliche Lebensdauer'' und ''... zerfällt ...'' Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lamda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Tipp 2:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png|left|300px|Berechnung von Lambda mit Hilfe der durchschnittlichen Lebenserwartung]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $f(t)=2\cdot 1,085^t $

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

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= Matura-Beispiele =
==Matura-Beispiele==
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM Aufgabenpool] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n Pilze* d1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n Kunststoff* b2)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n Weltbevölkerung* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n Käse* a1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n Raucherentwöhnung* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n Sonnenblumen* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n Obst* c1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n Winterdienst* c1)] <br/> Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n Desinfektion* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n Sonnenlicht und Vitamin D* b1)] <br/> Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n Streaming* a1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>
* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n Sozialausgaben (1)* b1)] <br/> Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen <br/>

Datei:Lernpfad2 Tipp Lambda.png

2026-09-27T20:19:23Z

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